Люди постоянно описывают окружающую их реальность. Одним из самых главных инструментов для этого являются величины. Величиной называют такое свойство предмета или явления, которое можно измерить. Например, возраст дерева, высота дома, скорость передвижения.

Величины могут быть связаны между, зависеть друг от друга, или нет.

ПРИМЕР

1. Построим квадрат со стороной 2 см. 

Длина стороны квадрата и его площадь являются связанными величинами. уВЕЛИЧИМ длину стороны квадрата до 6 см, то изменится и площадь.

Изменение длины стороны квадрата влечет изменение и его площади.

Предположим, что вы идете в школу, скорость вашего движения – это некоторая ве- личина. В кармане у вас есть некоторое количество денег – это другая величина.

Если изменить скорость своего движения (первую величину), то количество денег (вторая величина) при этом не изменится. Значит, такие величины можно считать независи- мыми.

Предположим, мы ставим телефон на зарядку. Время, которое он заряжается, – первая величина. Время, которое он сможет проработать после зарядки, – другая величина. Чем дольше мы заряжаем телефон, тем дольше он сможет проработать. Так будет продолжаться до тех пор, пока телефон не зарядится полностью.

Чем дольше чайник стоит на огне, тем больше температура воды в чайнике. Такие за- висимости называют прямыми. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем мень- ше одна величина, тем меньше вторая величина.

Существуют и другие зависимости. Например, чем больше книжек мы прочитаем, тем меньше ошибок мы потом совершаем в диктанте; чем выше мы поднимаемся в горы, тем меньше атмосферное давление.

Такие зависимости называют обратными. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.

Итак, при прямой зависимости обе величины изменяются в одну сторону (обе увели- чиваются или обе уменьшаются), а при обратной – в разные стороны (одна увеличивается, другая уменьшается).

Предположим, что ваш путь от дома до школы занимает 20 минут. Если увеличить скорость (первую величину) в два раза, как изменится время (вторая величина), которое необходимо, чтобы дойти до школы?

Понятно, что время уменьшится в два раза. Такая зависимость называется пропорци- ональной. Во сколько раз изменилась одна величина, во столько раз изменилась и вторая.

Предположим, что мы покупаем молоко в магазине. И считаем стоимость покупки. За две бутылки мы должны заплатить 100 рублей. Если мы захотим купить 4 бутылки (увели- чить количество бутылок в 2 раза), то во сколько раз увеличится стоимость покупки?

Понятно, что стоимость тоже увеличится в 2 раза. Это еще один пример пропорцио- нальной зависимости.

Вывод, существуют прямо пропорциональные зависимости и обратно пропорцио- нальные зависимости.

Рассмотрим зависимость между стороной квадрата и его площадью. Такая зависи- мость прямая.

Данная зависимость не является пропорциональной, так как:

Очевидно, что площадь увеличивается непропорционально. Она вычисляется по фор-

муле                 , где – площадь квадрата, а – сторона квадрата. Если увеличить сторону в произвольное количество раз, то увеличение площади будет в квадрате относительно этого. Такую зависимость можно назвать прямая квадратичная зависимость.

Если в несколько раз увеличить все линейные размеры фигуры (например, длины сто- рон), то площадь всегда будет увеличиваться в квадрате относительного этого изменения.

Бывают ли обратные квадратичные зависимости? Да, такая зависимость встречается часто, например, в физике. Все тела притягиваются друг к другу, причем сила притяжения зависит от расстояния между этими телами. Если увеличить расстояние между телами в 2 раза, то сила притяжения уменьшится в 4 раза. Легко убедиться, что это обратная квадратич- ная зависимость по формуле, которая описывает закон всемирного тяготения (рис.

10): .   – сила притяжения одного тела к другому,   – расстояние между телами