Демоверсия курса "Математика в нашей жизни"

Решить математическую задачу – это значит найти такую последовательность общих положений математики, применяя которые к условиям задачи получаем то, что требуется найти – ответ.

Основными методами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический метод, а так же комбинированный.

Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над данными в задаче числами. Одну и туже задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений в процессе решения задачи.

Решить задачу алгебраическим методом – значит найти ответ на требование задачи  путем составления и решения уравнения или системы уравнений.

Текстовые задачи алгебраическим методом решают по следующей схеме:

1) выделяют величины, о которых идет речь в тексте задачи, и устанавливают зависимость между ними;

2) вводят переменные (обозначают буквами неизвестные величины);

3) с помощью введенных переменных и данных задачи составляют уравнение или систему уравнений;

4) решают полученное уравнение или систему;

5) проверяют найденные значения по условию задачи и записывают ответ.

Комбинированный метод решения включает как арифметический, так и алгебраический способы решения.

Пример 1.

В 8 ч утра из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью 60 км/ч. В 11 ч из пункта В ему навстречу вышел другой поезд со скоростью70 км/ч. В какое время поезда встретятся, если расстояние между пунктами 440 км.

Алгебраический метод приводит к следующему уравнению:

(60 + 70) · x + 60 · 3 = 440, или 130 x + 180 = 440, где х ч — время движения второго поезда до встречи.

Тогда 130х = 440 — 180; 130х = 260; х = 2 (ч). Проделанные рассуждения и выкладки «подсказывают» следующий арифметический путь решения задачи.

Найдем сумму скоростей поездов (60 + 70 = 130); время движения первого поезда до начала движения второго поезда (11 - 8 = 3); расстояние, пройденное первым поездом за 3ч (60 · 3 = 180); расстояние, которое осталось пройти поездам до встречи (440 - 180 = 260); время движения второго поезда до встречи (260 : 130 = 2).

Этапы решения задач алгебраическим и арифметическим методами будем параллельно записывать в таблице. Эта таблица позволит наглядно проследить, как алгебраические преобразования в ходе решения уравнений, являющихся моделью текстовой задачи, помогают найти ее арифметическое решение.

Оформим решение задачи арифметическим методом:

1) 11 - 8 = 3 (ч) — был в пути первый поезд до начала движения второго;

2) 60 · 3 = 180 (км) — прошел первый поезд за 3 ч;

3) 440 - 180 = 260 (км) — расстояние, пройденное поездами при одновременном движении;

4) 60 + 70 = 130 (км/ч) — скорость сближения поездов;

5) 260 : 130 = 2 (ч) — время движения второго поезда;

6) 11 + 2 = 13 (ч) — в такое время поезда встретятся.

Ответ: поезда встретятся в 13 ч.

Пример 2. По окончании спектакля 174 зрителя из театра разошлись пешком, а остальные поехали на трамваях в 18 вагонах, причем в каждый вагон садилось на 5 чел, больше, чем было в нем мест. Если бы зрители, уезжавшие из театра на трамвае, садились в него по числу мест, то понадобилось бы еще 3 вагона, причем в последнем осталось бы 6 свободных мест. Сколько всего зрителей было в театре?

Этапы решения задачи алгебраическим методом и соответствующие им этапы решения задачи арифметическим методом показаны в таблице.

Используя данные таблицы, получаем арифметическое решение задачи:

1) 5 · 18 = 90 (чел.) — на столько человек больше, чем мест, было в 18 вагонах;

2) 90 + 6 = 96 (м.) — столько мест в трех вагонах;

3) 96 : 3 = 32 (м.) — столько мест в одном вагоне;

4) 32 + 5 = 37(чел.) — было в каждом из 18 вагонов;

5) 37 · 18 = 666 (чел.) – зрителей уехало на трамваях;

6) 666 + 174 = 840 (чел.) – всего зрителей было в театре.

Ответ: в театре было 840 человек.